Zadania na dowodzenie wymagają często nieszablonowego myślenia, nawet na maturze podstawowej. Trzeba przećwiczyć ich wiele, aby czuć się pewnie podczas ich rozwiązywania. Przygotowałem opracowanie jednego zadania z dowodu algebraicznego, które pomoże (chociaż trochę) oswoić się z tym zagadnieniem.
Przypomnijmy sobie, jak najlepiej oznaczać kolejne liczby parzyste i nieparzyste. W naszym zadaniu autor mówi o czterech kolejnych liczbach nieparzystych, zatem do zapisów weźmiemy 2n+1, 2n+3, 2n+5 oraz 2n+7, przy założeniu, że n należy do zbioru liczb całkowitych.
Skoro mamy udowodnić, że suma kwadratów czterech kolejnych liczb nieparzystych przy dzieleniu przez 8 daje resztę 4, przypomnijmy sobie również, jak oznaczane były liczby podzielne przez 3, 7, a także np. przez 4 z resztą 3 oraz przez 5 z resztą 1.
Skoro te zagadnienia zostały już przypomniane, zapiszmy założenia naszego zadania, a także tezę (to, co mamy udowodnić).
Bardziej rozbudowana jest lewa strona tezy i to od niej sobie wyjdziemy. Mamy tutaj cztery wzory skróconego mnożenia, które wyliczamy, a na końcu redukujemy wyrazy podobne.
Otrzymany powyżej rezultat to jeszcze nie koniec. Nie udało się póki co udowodnić, że przy dzieleniu przez 8 otrzymujemy resztę 4. Skupmy się na liczbie 84, którą rozbijemy na sumę dwóch liczb: 80 + 4.
Czy da nam to cokolwiek?
Oczywiście, że TAK, ponieważ można wówczas wyciągnąć ósemkę przed nawias (jak poniżej).
W założeniach zadania mamy, że liczba „n” jest dowolną liczbą całkowitą. To oznacza, że dla każdej takiej liczby wartość wyrażenia w nawiasie zawsze da nam wynik będący liczbą całkowitą, co wyraźnie oznaczamy. Możemy zatem zapisać to wszystko jako 8k + 4, co jest zgodne z prawą stroną tezy, co w tym zadaniu należało udowodnić.
Zadanie do samodzielnego wykonania
Wykaż, że reszta z dzielenia przez 16 sumy kwadratów czterech kolejnych liczb parzystych jest równa 8.
