W ostatnich latach często pojawia się zadanie, w którym należy wyliczyć liczbę rozwiązań równania wielomianowego lub np. sumę tych rozwiązań. W porównaniu do ostatniego zadania z dowodzenia (algebra) jest ono prostsze, krótsze, nie trzeba kreatywności, ale należy zwrócić uwagę na miejsca, które mogą wpłynąć na wybór poprawnej odpowiedzi. Zapraszam do przećwiczenia takich przykładów: jeden został rozpisany krok po kroku, pozostałe – do wykonania samodzielnie.
Treść zadania do wykonania
Zacznijmy od tego, że między czynnikami jest niewidoczny znak mnożenia. Na poniższym załączniku te znaki zostały dopisane.
Zastanówmy się teraz, kiedy iloczyn czynników daje wartość równą zero. Dzieje się to wtedy, gdy przynajmniej jeden z tych czynników jest równy zero. Oznacza to, że rozbijemy sobie to równanie wstępnie na cztery przypadki, przyrównując te czynniki do zera.
Trzy z nich to bardzo proste równania na poziomie szkoły podstawowej, więc wyliczamy w każdym „x”.
Podchwytliwy może być ostatni przypadek, gdzie zdarzają się pomyłki. Przenosząc „7” na prawą stronę i pierwiastkując obustronnie należy pamiętać o wartości bezwzględnej!
Co zmienia ta wartość bezwzględna? Rozbicie równania na dwa przypadki. Często zapominamy o tym ujemnym rozwiązaniu, a przecież trzeba je uwzględnić.
Czyli otrzymaliśmy 5 rozwiązań, co sugerowało by wskazanie odpowiedzi C… Gdyby nie polecenie, które należy przeczytać ze zrozumieniem. Autor prosi o wskazanie liczby rozwiązań, które są w zbiorze liczb niewymiernych. Przypomnijmy sobie, jakie są różnice między liczbami wymiernymi i niewymiernymi.
Z powyższego porównania zbiorów liczbowych wynika, że trzy rozwiązania naszego równania należą do liczb wymiernych, natomiast dwa z nich – to liczby niewymierne. Prawidłową odpowiedzią zatem będzie D.
Proszę przeanalizować jeszcze takie równanie (już zupełnie niezwiązane z naszym zadaniem).
Odejmując obustronnie liczbę 8 i dzieląc później je przez dwa, otrzymujemy równanie sprzeczne, tego nie pierwiastkujemy! Żadna liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu nie daje wartości ujemnej.
Zadania do samodzielnego wykonania
OE zadania (książka do matury podstawowej)
- 5.11
- 5.32
- 5.57
- 5.53
