Jakiś czas temu otrzymałem książkę z 1984 r. (za którą bardzo dziękuję), w której znajdują się liczne zadania maturalne i egzaminacyjne (Korczyc T., Nowakowski J. Matematyka Zadania maturalne i egzaminacyjne, część I, wydanie szóste, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne). Jak łatwo policzyć, zbiór zadań ma już 42 lata, więc postanowiłem sprawdzić podobieństwa i różnice pod kątem zadań maturalnych. Na feriach udało mi się częściowo ją przestudiować, dlatego podzielę się z Wami krótką refleksją.

Nie mam wątpliwości, że poziom zadań maturalnych przez ten czas drastycznie spadł. Matura 40 lat temu to całkiem inna bajka – przede wszystkim główna różnica to brak zadań zamkniętych – w 2026 r. w dużej części zadań na maturze podstawowej z matematyki macie możliwość wyboru odpowiedzi spośród czterech wariantów odpowiedzi. Nawet na profilach humanistycznych można znaleźć zadania funkcji kwadratowej z parametrem, wykresów funkcji z wartością bezwzględną czy granice ciągów, które występują dzisiaj tylko na poziomie rozszerzonym.

Zbiór zadań mimo wielu lat ma bardzo ciekawą bazę zadań, która przede wszystkim spodobała by się uczniom przygotowującym się do matury rozszerzonej z matematyki. Co jakiś czas będę wrzucał przykład takiego zadania. Czy znajdzie się jednak przykład ćwiczenia, które przyda się maturzystom przygotowującym się do egzaminu z podstawy?

Jak najbardziej! Nie ma tego za wiele, ale dla chcącego nic trudnego. Przykładem jest zadanie z działu „Geometria analityczna” z zahaczeniem o równanie kwadratowe oraz zadanie obliczeniowe.

PROCENTY I UŁAMKI (poziom podstawowy)

Zaczniemy od takiego prostego przypomnienia, jak zamieniać liczby na ułamki niewłaściwe. Przesunięcie przecinka o jedno miejsce w prawo oznacza dzielenie przez 10, o dwa miejsca – przez 100, o trzy miejsca – przez 1000, jak w schemacie poniżej.

Teraz czas na krótkie przypomnienie z ułamków dziesiętnych, które mają rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe. Na podstawie tego krótkiego ćwiczenia polecam zapisać w notatniku samodzielnie wyniki następujących przykładowych liczb:

4,(6)
2,(27)

Połączymy teraz te informacje do liczby z zadania. Najpierw należy przesunąć przecinek o jedno miejsce w prawo, następnie zamienić liczbę z licznika na ułamek niewłaściwy.

Powyższy ułamek można było jeszcze skrócić, ale nie ma takiej potrzeby – przypominam, że autor wymagał obliczenia 15% tej liczby. Teraz tylko należy zamienić 15% na ułamek, używamy do dalszych działań kalkulatora i gotowe! Nie ma potrzeby skracania ułamków.

GEOMETRIA ANALITYCZNA (poziom podstawowy)

Na początek wykonano rysunek pomocniczy. Proszę zwrócić uwagę, że okrąg, który jest styczny do obu osi układu współrzędnych ma następujące cechy:

środek tego okręgu jest równo oddalony od obu osi układu współrzędnych,
znajduje się wyłącznie w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych, ponieważ należy do niego punkt A(9,8)

Co to oznacza? Środek okręgu ma obie współrzędne takie same S(a,a). Ponadto długość promienia okręgu ma długość a. Równanie okręgu znajduje się w tablicach matematycznych w dziale „Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej”. Równanie to uzupełnione zostało tak, aby wykorzystać wszystkie informacje z wykresu pomocniczego.

Nie można zapomnieć o punkcie A(9,8), który należy do okręgu. Wstawiamy jego współrzędne do równania okręgu.

Utworzyło się równanie kwadratowe, które rozwiązano. Oczywiście uważać należy na wzory skróconego mnożenia.

Okazuje się, że są dwa rozwiązania i nie ma żadnej przesłanki, że należy je odrzucić. Oznacza to, że są dwie możliwości. Uzupełniono zatem równanie okręgu i wskazano kolorem niebieskim ostateczne już odpowiedzi.

O maturzystach przygotowujących się do matury rozszerzonej oczywiście nie zapomniałem! Dla Was mam aż 3 zadania z optymalizacji, które znalazły się w tym zbiorze zadań.

OPTYMALIZACJA cz. I (poziom rozszerzony)

Na początek – rysunek pomocniczy prostopadłościanu uzupełniony o oznaczenia. W podstawie jest kwadrat, którego bok oznaczono literą a, natomiast wysokość – H. Zapisano też równanie: 8 krawędzi podstaw i 4 wysokości stanowią łącznie sumę krawędzi wynoszącą 16. Szukamy największej objętości tej bryły.

Wyznaczono wysokość z wcześniejszego równania i zapisano stosowne założenia.

Objętość prostopadłościanu to iloczyn pola podstawy i wysokości tej bryły. Uzupełniono dane i zapisano wzór na objętość w zależności od boku a podstawy.

Aby obliczyć największą możliwą objętość obliczono pochodną z funkcji V(a) i przyrównano ją do zera.

Sprawdzono również, kiedy ta pochodna jest większa i mniejsza od zera. Wykonano stosowny rysunek pomocniczy (z uwzględnieniem dziedziny).

W ostatnim już kroku wykonano małą tabelę, w której zaprezentowano przebieg zmienności funkcji V(a). Z niej wynika, że funkcja ma maksimum lokalne dla a=4/3.

Autor pytał o wysokość, dla którego objętość jest największa, więc podstawiono wartość a do równania (wcześniej zaznaczone żółtym markerem) i gotowe!

OPTYMALIZACJA cz. II (poziom rozszerzony)

Wykonano rysunek pomocniczy oznaczając wymiary placu zabaw jako x i y.

W poleceniu wspomniano, że plac zabaw stanowi 15 % całego pola parku – oznacza to, że jego powierzchnia powinna wynosić 2025 m².

Celem jest uzyskanie możliwie najmniejszego obwodu prostokątnego placu zabaw ABCD. Zanotowano również skromne założenia. Z pola prostokąta wyznaczamy niewiadomą y.

Obwód to suma długości wszystkich boków prostokąta (2x + 2y). Teraz za y wstawiono wcześniejsze równanie. Na końcu wyrażenie sprowadzono do wspólnego mianownika.

Cel? Podanie wymiarów placu, dla których jego obwód będzie możliwie najmniejszy.

Czego potrzeba zatem? Jak w poprzednim zadaniu – pochodnej, którą później przyrównano do zera.

Sprawdzono również, kiedy pochodna jest większa i mniejsza od zera, po czym wykonano mini tabelę, pokazującą przebieg zmienności funkcji L(x). Ma ona swoje minimum lokalne dla x = 45.

Jaki będzie zatem drugi wymiar tego placu zabaw? Wstawiono za x liczbę do równania wcześniejszego zaznaczonego markerem brązowym celem obliczenia y i podano odpowiedź. Gotowe!