Kolejne wyzwanie z zakresu obowiązującego na maturze rozszerzonej z matematyki, tym razem omówione zostanie zadanie z geometrii analitycznej (równanie okręgu, długość odcinka w układzie współrzędnych). Zachęcam do przeanalizowania tego ćwiczenia i do próby samodzielnej wykonania zadania. Poniżej znajduje się treść zadania.
Z okręgów wyznaczmy istotne informacje, czyli współrzędne ich środków oraz długości promieni.
Poniżej przedstawiony jest szkic w układzie współrzędnych naszych okręgów. Nie ma wątpliwości, ze jeden z punktów przecięcia tych okręgów ma współrzędne (-2, -3). Gorzej sytuacja wygląda w drugim punkcie – oznacza to, że sama grafika nie wystarczy i należy dokonać obliczeń, aby mieć pewność, jakie współrzędne ma drugi punkt.
Z równań okręgów utworzono układ równań, w którym wykorzystano wzory skróconego mnożenia a jednomiany – zredukowano, na ile to możliwe.
Układ ten odjęto stronami, dzięki czemu utworzono równanie prostej, na której znajdują się punkty przecięcia tych dwóch okręgów.
Wstawiono za y formułę do równania pierwszego okręgu. To oznacza, że na tym etapie obliczeń jest już tylko jedna niewiadoma. Teraz klasycznie – wzory skróconego mnożenia, redukcja jednomianów, po wszystkich przekształceniach jest równanie kwadratowe.
Nasze równanie ma dwa miejsca zerowe: -2 oraz 1.84. Oznacza to, że na podstawie wykresu sprawdziła się informacja o pierwszym punkcie przecięcia tych dwóch okręgów (-2, -3). Drugi z punktów już ostatecznie ma współrzędne (1.84, -0.12).
O co pytał autor w treści zadania? O długość odcinka łączącego punkty przecięcia się tych okręgów. Użyto do tego wzoru, który można znaleźć w tablicach maturalnych w dziale „Geometria analityczna”.
